Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，左右焦点分别为F₁、F₂，抛物线y²=4

3

x的焦点F恰好是该椭圆的一个焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆的左顶点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，满足

AM

•

AN

=0，当点M在椭圆上运动时，直线MN是否经过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线y²=4

3

x的焦点F（

3

，0），可得c=

3

；利用e=

3

2

，可得a，从而可求b，即可求出椭圆方程；
（2）对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．

解答： 解：（1）抛物线y²=4

3

x的焦点F（

3

，0），∴c=

3

．
∵e=

3

2

，∴a=2，
∴b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），
与椭圆方程联立，化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
∵此方程有一根为-2，∴x_M=

2-8k2

1+4k2

，y_M=

4k

4k2+1

同理可得x_N=

2k2-8

k2+4

，y_N=-

4k

k2+4

．
∴k_MN=

5k

4(1-k2)

∴直线MN：y-

4k

4k2+1

=

5k

4(1-k2)

（x-

2-8k2

1+4k2

）
令y=0，可得x=-

6

5

∴直线MN过x轴上的一定点（-

6

5

，0）．

点评：本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．