Question

已知点A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．
（1）若实数m，n满足m

OA

+n

OB

=2

OC

，求m²+n²；
（2）问原点O能否成为△ABC的重心？

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量的坐标运算可以求出m，n，然后带入m²+n²即可．
（2）先假设O是△ABC的重心，因为AB的中点在x轴上，所以AB边的中线在x轴上，所以可以求出C（-

2

，0）．这时可以求出线段BC的中点坐标，可以验证BC边的中点不在直线OA上，所以O不是△AB的重心．C

解答： 解：（1）根据条件得：
m(1，1)+n(1，-1)=2(

2

cosθ，

2

sinθ)；
∴

m+n=2 2 cosθ m-n=2 2 sinθ

；
∴

m= 2 (sinθ+cosθ) n= 2 (cosθ-sinθ)

；
∴m²+n²=2（1+sin2θ）+2（1-sin2θ）=4．
（2）原点O不能成为△ABC的重心．如下图：由A，B点的坐标得线段AB的中点D（1，0），若O是△ABC的重心，OD便在线段AB的中线上，所以C在OD上，即C在x轴上；
∴

2

sinθ=0；
∴

2

cosθ=-

2

，∴C（-

2

，0）；
∴线段BC的中点坐标为：（

1- 2

2

，-

1

2

）．
AO是BC边上的中线，并且直线AO的方程为：y=x；
显然，线段BC的中点不在直线AO上；
∴所以O不是△ABC的重心．

点评：本题考查向量的坐标运算，重心的概念，二倍角的正弦公式，sin²α+cos²α=1．