Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为2

2

，且b＞c，求b，c．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式左边第一项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出cos（B+C）的值，再利用诱导公式变形即可求出cosA的值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入得到bc=6，再利用余弦定理列出关系式，将a，bc，cosA的值代入得到b²+c²=13，联立即可求出b与c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：3cos（B-C）-1=3（cosBcosC+sinBsinC）-1=6cosBcosC，
整理得：3（-cosBcosC+sinBsinC）=1，即cos（B+C）=-

1

3

，
则cosA=-cos（B+C）=

1

3

；
（II）由（Ⅰ）得sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵△ABC面积为2

2

，即

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

2 2

3

=2

2

，
∴bc=6①，
∵a=3，cosA=

1

3

，bc=6，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-9

12

=

1

3

，即b²+c²=13②，
联立①②，解得：

b=3 c=2

或

b=2 c=3

（舍），
则b=3，c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．