Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且过点（-

2 6

3

，1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作两条直线分别与椭圆交于A，C与B，D，若

AC

•

BD

=0，求四边形ABCD面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得3a²=4b²，

8

3a2

+

1

b2

=1，由此能求出椭圆方程．
（2）当AC，BD中有一条与x轴垂直时，四边形ABCD的面积为S=6，当AC，BD与x轴都不垂直时，设直线AC为y=k（x-1），k≠0，直线BD为y=-

1

k

(x-1)．由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得|AC|=

12(1+k2)

4k2+3

，同理|BD|=

12(k2+1)

3k2+4

，由此能求出四边形ABCD面积的取值范围是（6，

288

49

]．

解答： 解：（1）设椭圆的集中为2c，则椭圆的离心率

c

a

=

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

，∴3a²=4b²，①
把点（-

2 6

3

，1）代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
得

8

3a2

+

1

b2

=1，②
由①②解得a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）当AC，BD中有一条与x轴垂直时，把x=1代入椭圆，
得y=±

3

2

，∴其中一条弦长为3，
四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×4×3=6，
当AC，BD与x轴都不垂直时，设直线AC为y=k（x-1），k≠0，
则直线BD为y=-

1

k

(x-1)．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
∴|AC|=

1+k2

•

(x12+x22)-4x1x2

=

1+k2

•

( 8k2 4k2+3 )2- 4(4k2-12) 4k2+3

=

12(1+k2)

4k2+3

，
同理，|BD|=

12[1+(- 1 k )2]

4(- 1 k )2+3

=

12(k2+1)

3k2+4

，
∴四边形ABCD的面积为：
S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

•

12(1+k2)

4k2+3

•

12(k2+1)

3k2+4

=

72k4+144k2+72

12k4+25k2+12

=6-

6k2

12k4+25k2+12

=6-

6

12k2+ 12 k2 +25

，
而12k2+

12

k2

≥24，当且仅当k²=1时取等号，
∴S≥6-

6

49

=

288

49

，且S＜6，
综上，四边形ABCD面积的取值范围是[6，

288

49

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．