Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

3

2

，长轴长为4，圆O：x²+y²=1（O为原点），直线l：y=kx+m是圆O的一条切线，且直线l与椭圆M交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）求△AOB的面积取最大值时直线l的斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率以及长轴、短轴、焦距的关系，求出a，b，即可求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，推出mk的关系，联立直线与椭圆方程，求出|AB|，表示△AOB的面积，利用基本不等式求出取最大值时，直线l的斜率k的值．

解答： 解：（Ⅰ）离心率为

3

2

，长轴长为4，所以

c

a

=

3

2

，a=2
∴c=

3

∴b²=a²-c²=1，
∴

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由圆O：x²+y²=1（O为原点），直线l：y=kx+m是圆O的一条切线，

|m|

k2+1

=1，可得m²=1+k²，
由

x2+4y2-4=0 y=kx+m

，代入得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由于：△=48k²＞0恒成立，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则：

x1+x2= -8km 1+4k2 x1•x2= 4m2-4 1+4k2 = 4k2 1+4k2

，
|AB|=

1+k2

•

( 8km 1+4k2 )2- 16k2 1+4k2

=

48k2(1+k2) (1+4k2)2

，
S=

1

2

×1×

48k2(1+k2) (1+4k2)2

=2

3k2(1+k2) (1+4k2)2

≤2

( 3k2+1+k2 2 )2 (1+4k2)2

=1
当且仅当3k²=1+k²即k2=

1

2

时取等；此时，直线斜率k=±

2

2

．

点评：本题可操作性与圆锥曲线的综合应用，直线与圆的位置关系，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，综合性比较强，计算量大，考查分析问题解决问题的能力．