在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，sin

A

2

=

5

5

，b²+c²-a²=6．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若sinA=sinBsinC，求△ABC的外接圆半径．

已知f（x）=（

x-1

x+1

）²，（x≥1），g（x）是f（x）的反函数，记h（x）=

1

g(x)

+

x

+2，求：h（x）的解析式及其最小值．

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足：点M是线段PF₂的中点；直线l：y=kx+m与以F₁F₂为直径的圆O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设

OA

•

OB

=λ，求证：λ=

k2+1

2k2+1

（3）当（2）中的λ满足

2

3

≤λ≤

3

4

时，求△AOB面积S的取值范围．

已知函数f（x）=ax²+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn-lnm＞

m

n

-

n

m

；
（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．

已知椭圆的中心为原点O，长轴长为4

2

，一条准线的方程为y=

8 7

7

．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）射线y=2

2

x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（A，B两点异于M）．求证：直线AB的斜率为定值．

如图，两座建筑物AB，CD的底部在同一个水平面上，且均与水平面垂直，他们的高度分别是12m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=45°．
（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）在线段AB上取一点P，从点P看建筑物CD的视角为∠CPD，问点P在何处时，∠CPD最大？

已知椭圆C的焦点是F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

），点P在椭圆上且满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A₁、A₂，右顶点为B，圆E与以线段OA₁为直径的圆关于直线A₂B对称．求圆E的标准方程．

求函数y=|1-

1

x

-

1

x-1

|最小值．

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱锥N-AMC的体积．

设等比数列{a_n}满足a₅-a₁=80，前4项和S₄=40．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=

1

an

log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和．