题目内容
如图，两座建筑物AB，CD的底部在同一个水平面上，且均与水平面垂直，他们的高度分别是12m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=45°．（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）在线段AB上取一点P，从点P看建筑物CD的视角为∠CPD，问点P在何处时，∠CPD最大？
考点：两角和与差的正切函数
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（Ⅰ）如图，先求得tan∠DAE=
=
，tan∠CAE=
=
，再根据tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）利用两角和的正切公式，化简求得AE=24，可得故BC=AE的值．
（Ⅱ）由题意可得，∠CPD为锐角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．如图，设CF=x，0≤x≤12，则DF=20-x，tan∠CPF=
，tan∠DPF=
，计算tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=
，可得当x=10时，tan∠CPD最大值，从而得出结论．
| ED |
| AE |
| 8 |
| AE |
| CE |
| AE |
| 12 |
| AE |
（Ⅱ）由题意可得，∠CPD为锐角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．如图，设CF=x，0≤x≤12，则DF=20-x，tan∠CPF=
| x |
| 24 |
| 20-x |
| 24 |
| 480 |
| x2-20x+576 |
解答：
解：（Ⅰ）如图，作AE⊥CD，E为垂足．
∵AB∥CD，AB=12，CD=20，∴ED=8，CE=12．
在Rt△DAE中，tan∠DAE=
=
，
在Rt△CAE中，tan∠CAE=
=
．
再根据∠CAD=45°，可得tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）
=
=
，
求得AE=24，或AE=-24（舍去）．
故BE=AC=24．
（Ⅱ）由题意可得，∠CPD为锐角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．
如图，作 PF⊥CD，F为垂足，则 PF=AE=24，
设CF=x，0≤x≤12，则DF=20-x，tan∠CPF=
=
，
tan∠DPF=
=
，
tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=
=
=
，
故当x=10时，tan∠CPD取得最大值为
，即当BP=10时，∠CPD取得最大值．
解：（Ⅰ）如图，作AE⊥CD，E为垂足．∵AB∥CD，AB=12，CD=20，∴ED=8，CE=12．
在Rt△DAE中，tan∠DAE=
| ED |
| AE |
| 8 |
| AE |
在Rt△CAE中，tan∠CAE=
| CE |
| AE |
| 12 |
| AE |
再根据∠CAD=45°，可得tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）
=
| tan∠DAE+tan∠CAE |
| 1-tan∠DAE•tan∠CAE |
| ||||
1-
|
求得AE=24，或AE=-24（舍去）．
故BE=AC=24．
（Ⅱ）由题意可得，∠CPD为锐角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．
如图，作 PF⊥CD，F为垂足，则 PF=AE=24，
设CF=x，0≤x≤12，则DF=20-x，tan∠CPF=
| x |
| PF |
| x |
| 24 |
tan∠DPF=
| x |
| PF |
| 20-x |
| 24 |
tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=
| tan∠CPF+tan∠DPF |
| 1-tan∠CPF•tan∠DPF |
| ||||
1-
|
| 480 |
| x2-20x+576 |
故当x=10时，tan∠CPD取得最大值为
| 120 |
| 119 |
点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．
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