题目内容
已知F1、F2是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，
）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足：点M是线段PF2的中点；直线l：y=kx+m与以F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
•
=λ，求证：λ=
（3）当（2）中的λ满足
≤λ≤
时，求△AOB面积S的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
| OA |
| OB |
| k2+1 |
| 2k2+1 |
（3）当（2）中的λ满足
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用PF1⊥F1F2，c=1，结合点P（-1，
）在椭圆上，即可求椭圆的标准方程；
（2）圆O与直线l相切，可得m2=k2+1，直线与椭圆联立，利用韦达定理，利用向量的数量积公式即可证明；
（3）确定k的范围，表示出面积，即可求△AOB面积S的取值范围．
| ||
| 2 |
（2）圆O与直线l相切，可得m2=k2+1，直线与椭圆联立，利用韦达定理，利用向量的数量积公式即可证明；
（3）确定k的范围，表示出面积，即可求△AOB面积S的取值范围．
解答：
（1）解：∵点M是线段PF2的中点，
∴OM是△PF1F2的中位线
又OM⊥F1F2，∴PF1⊥F1F2┅┅┅┅┅┅┅（2分）
∴
解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴椭圆的标准方程为
+y2+1┅┅┅┅┅┅┅（4分）
（2）证明：∵圆O与直线l相切，∴
=1，∴m2=k2+1┅┅┅┅┅┅┅（5分）
，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=
，x1•x2=
，
∴y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
┅┅┅┅┅┅┅（8分）
∴
•
=x1x2+y1y2=
=λ┅┅┅┅┅┅┅（9分）
（3）解：∵
≤λ≤
即
≤
≤
，
∴
≤k2≤1┅┅┅┅┅┅┅（10分）
S=S△ABO=
•|AB|•1=
•
•
=
•
=
┅┅┅┅┅┅┅（12分）
设μ=k4+k2，则
≤μ≤2，S=
，μ∈[
，2]，
∵S关于μ在[
，2]单调递增，S（
）=
，S（2）=
，
∴
≤S≤
┅┅┅┅┅┅┅（14分）
∴OM是△PF1F2的中位线
又OM⊥F1F2，∴PF1⊥F1F2┅┅┅┅┅┅┅（2分）
∴
|
解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 2 |
（2）证明：∵圆O与直线l相切，∴
| |m| | ||
|
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=
| 4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-2 |
| 1+2k2 |
∴y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
| 1-k2 |
| 1+2k2 |
∴
| OA |
| OB |
| 1+k2 |
| 1+2k2 |
（3）解：∵
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1+K2 |
| 1+2K2 |
| 3 |
| 4 |
∴
| 1 |
| 2 |
S=S△ABO=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
(-
|
=
|
设μ=k4+k2，则
| 3 |
| 4 |
|
| 3 |
| 4 |
∵S关于μ在[
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| 2 |
| 3 |
∴
| ||
| 4 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
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