Question

设等比数列{a_n}满足a₅-a₁=80，前4项和S₄=40．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=

1

an

log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等比数列{a_n}满足a₅-a₁=80，前4项和S₄=40，求出a₁=1，q=3，即可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}满足a₅-a₁=80，前4项和S₄=40
∴a₅-a₁=a₁（q⁴-1）=15，

a1(1-q4)

1-q

=40
∴a₁=1，q=3，
∴a_n=3^n-1；
（Ⅱ）b_n=

1

an

log₃a_n=（n-1）•3^1-n．
设数列{b_n}的前n项和为T_n，则
T_n=1•

1

3

+2•

1

32

+…+（n-1）•3^1-n，
∴

1

3

T_n=1•

1

32

+…+（n-2）•3^1-n+（n-1）•3^-n，
两式相减整理可得T_n=

3

4

-

2n+1

4•3n-1

．

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．