已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，过其右焦点F₂作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A、B两点，与抛物线y²=4x交于C、D两点，且

AB

=

3 2

4

CD

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l′交椭圆于P、Q两点，连接AP、AQ分别交直线x=

16

3

于M、N两点．试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

某地某企业拟招聘一批综合素质较强的员工，参与企业的建设与发展．假定符合应聘条件的每个选手还需要依次进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答上一轮问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某应聘者能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

3

4

，

2

3

，

1

2

，

1

3

且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该应聘者通过考核未被淘汰的概率．
（2）求该应聘者进入第四轮才被淘率的概率．

已知抛物线的顶点为O（0，0），焦点在x轴上，且过点（2，4），
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆（x+2）²+y²=4相切的直线l：x=ky+t交抛物线于不同的两点M，N．若抛物线上一点C满足

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），求λ的取值范围．

已知p：x²-x-2≤0，q：|2x+m|＞|x-m|，其中m＜0
（1）若￢p为真，求x的取值范围；
（2）若是￢p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．

设U=R，M={x|x≥2}，N={x|-1≤x＜4}，求（∁_UN）∪（M∩N）．

如图，在△ABC中，AB=5，点D是BC边上一点，且∠BAD=60°，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若BD=

31

，求AD的长；
（Ⅱ）若CD=4BD，求AC的长．

已知曲线y=x³+x-2在点P₀（-1，-4）处的切线l₁，直线l⊥l₁，且l也过切点P₀．求直线l的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点S（0，-

1

3

）的直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

已知命题p：方程x²+ax+1=0有两个不等的负实根，命题q：函数f（x）=lg（ax²-ax+1）的定义域为R，若￢p且q为真，求实数a的取值范围．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足4cos²

A

2

-cos2（B+C）=

7

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=3，当a取最小值时，判断△ABC的形状．