题目内容

如图，在△ABC中，AB=5，点D是BC边上一点，且∠BAD=60°，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若BD=
31
，求AD的长；
（Ⅱ）若CD=4BD，求AC的长．
考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）在三角形ABD值，利用余弦定理列出关系式，将AB，AD，以及cos∠BAD的值代入即可求出AD的长；
（Ⅱ）在三角形ABD与三角形ADC中，分别利用正弦定理列出关系式，
解答： 解：（Ⅰ）在△ABD中，AB=5，∠BAD=60°，BD=
31
，
由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD，即31=25+AD2-5AD，
解得：AD=6或AD=-1（舍去），
则AD的长为6；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得：
BD
sin∠BAD
=
5
sin∠ADB
，即
BD
sin60°
=
5
sin∠ADB
；
在△ADC中，利用正弦定理得：
DC
sin∠CAD
=
AC
sin∠ADC
，即
DC
sin45°
=
AC
sin∠ADC
，
∵∠ADC=180°-∠ADB，
∴sin∠ADC=sin（180°-∠ADB）=sin∠ADB，
又CD=4BD，两式相比得：
BD
3
2
•
2
2
4BD
=
5
AC
，
整理得：AC=10
6
．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=2
3
，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于多少？
如图过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，直线AO交抛物线准线于C点．
（1）求证：BC⊥y轴；
（2）求|AB|+|BC|的最小值．
求下列函数的定义域
（Ⅰ）f（x）=
x-2
x-3
+log3（4-x）；
（Ⅱ）f（x）=
1-(
1
3
)x
-
log2x
．
已知函数f（x）=2|x-2|-x+5
（1）求函数f（x）的最小值m
（2）在（1）的结论下，若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A、B两点，与抛物线y2=4x交于C、D两点，且
AB
=
3
2
4
CD
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l′交椭圆于P、Q两点，连接AP、AQ分别交直线x=
16
3
于M、N两点．试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
如图，已知椭圆C：
x2
4
+
y2
2
=1，Q是椭圆的右准线l上一动点，直线OQ交椭圆C于A、B两点，圆O：x2+y2=4，QM、QN是圆O的两条切线，M、N为切点．
（1）求证：直线MN恒过椭圆C的右焦点F；
（2）若点P是椭圆上任意一点，且直线AP、BP的斜率都存在，分别记为k1，k2，探究k1•k2是否为定值？说明理由．
如图，为了测量点A与河流对岸点B之间的距离，在点A同侧选取点C，若测得AC=40米，∠BAC=75°，∠ACB=60°，则点A与点B之间的距离等于
 
米．
已知∠ABC=60°，P为∠ABC内一定点，且点P到边AB，BC的距离分别为1，2．则P点到顶点B的距离为
 
．

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