Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足4cos²

A

2

-cos2（B+C）=

7

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=3，当a取最小值时，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用倍角公式和诱导公式即可得出；
（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）∵4cos2

A

2

-cos2(B+C)=

7

2

，
∴2(1+cosA)-cos2(π-A)=

7

2

，
∴2cosA-cos2A=

3

2

，
 又cos2A=2cos²A-1代入可得：（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

 即A=

π

3

．
（2）由余弦定理知：a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=9-3bc，
又∵3=b+c≥2

bc

 当且仅当b=c=

3

2

时取等号，
∴bc≤

9

4

，
 从而a2≥

9

4

，
即a≥

3

2

，
∴当a=

3

2

时a最小，此时b=c=

3

2

，
∴该三角形为正三角形．

点评：本题考查了倍角公式和诱导公式、余弦定理和基本不等式，属于中档题．