题目内容
已知抛物线的顶点为O（0，0），焦点在x轴上，且过点（2，4），
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆（x+2）2+y2=4相切的直线l：x=ky+t交抛物线于不同的两点M，N．若抛物线上一点C满足
=λ（
+
）（λ＞0），求λ的取值范围．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆（x+2）2+y2=4相切的直线l：x=ky+t交抛物线于不同的两点M，N．若抛物线上一点C满足
| OC |
| OM |
| ON |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设出抛物线方程为y2=2px，代入点（2，4），解出p，即可得到方程；
（2）运用直线与圆相切的条件d=r，得，4k2=t2+4t，将直线与抛物线联立，消去x，由判别式大于0，和韦达定理，由
=λ（
+
）（λ＞0），得到C与M，N的坐标之间的关系，由C在抛物线上，得到方程，化简整理，并运用t＜-6或t＞0，即可求出λ的范围．
（2）运用直线与圆相切的条件d=r，得，4k2=t2+4t，将直线与抛物线联立，消去x，由判别式大于0，和韦达定理，由
| OC |
| OM |
| ON |
解答：
解：（1）由题意可设抛物线方程为y2=2px，
将点（2，4）代入得，16=4p，p=4，
∴抛物线方程为y2=8x；
（2）∵直线l：x=ky+t与圆（x+2）2+y2=4相切，
∴
=2得4k2=t2+4t，①
将l：x=ky+t代入y2=8x得，
y2-8ky-8t=0，
由△=64k2+32t＞0
即4k2+2t=t2+6t＞0得t＜-6或t＞0，
设C（x0，y0），则y02=8x0，
由y1+y2=8k，x1+x2=k（y1+y2）+2t，
∵
=λ（
+
）（λ＞0），
∴x0=λ（x1+x2）=λ（8k2+2t），y0=λ（y1+y2）=8kλ，
∴（8kλ）2=8λ（8k2+2t），②
则①代入②化简整理得，λ=1+
，
t+4=
，∵t＞0或t＜-6，∴
＜λ＜1或1＜λ＜
．
∴λ的取值范围是（
，1）∪（1，
）．
将点（2，4）代入得，16=4p，p=4，
∴抛物线方程为y2=8x；
（2）∵直线l：x=ky+t与圆（x+2）2+y2=4相切，
∴
| |t+2| | ||
|
将l：x=ky+t代入y2=8x得，
y2-8ky-8t=0，
由△=64k2+32t＞0
即4k2+2t=t2+6t＞0得t＜-6或t＞0，
设C（x0，y0），则y02=8x0，
由y1+y2=8k，x1+x2=k（y1+y2）+2t，
∵
| OC |
| OM |
| ON |
∴x0=λ（x1+x2）=λ（8k2+2t），y0=λ（y1+y2）=8kλ，
∴（8kλ）2=8λ（8k2+2t），②
则①代入②化简整理得，λ=1+
| 1 |
| t+4 |
t+4=
| 1 |
| λ-1 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
∴λ的取值范围是（
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线与圆相切的条件，考查向量的坐标表示，以及基本的运算能力，属于中档题．
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