题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A、B两点，与抛物线y2=4x交于C、D两点，且
AB
=
3
2
4
CD
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l′交椭圆于P、Q两点，连接AP、AQ分别交直线x=
16
3
于M、N两点．试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件推导出
c
a
=
1
2
2
b2
a
=3
2
•
c
a2=b2+c2
，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设直线l'的方程为x=my+3，联立
x2
16
+
y2
12
=1，得（3m2+4）y2+18my-21=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线MR，NR的斜率之积为定值．
解答： （13分）解：（1）直线l过右焦点F2且与x轴垂直，
∴|AB|=
2b2
a
，|CD|=4
c
．
又∵椭圆E的离心率为
1
2
，且
AB
=
3
2
4
CD
，
∴
c
a
=
1
2
2
b2
a
=3
2
•
c
a2=b2+c2
，
解得a2=16，b2=12，故椭圆E的方程为
x2
16
+
y2
12
=1．…（5分）
（2）由题意知直线l'的斜率不为零，设直线l'的方程为x=my+3，
联立
x2
16
+
y2
12
=1，消去x得（3m2+4）y2+18my-21=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1+y2=-
18m
3m2+4
，y1y2=-
21
3m2+4
…（7分）
∵A，P，M三点共线，∴
yM
16
3
+4
=
y1
x1+4
，即yM=
28
3
•
y1
x1+4
…（8分）
同理可得，yN=
28
3
•
y2
x2+4
kMR•kNR=
yM
16
3
-3
•
yN
16
3
-3
=
9yMyN
49
=
16y1y2
(x1+4)(x2+4)
…（10分）
而(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49…（11分）
∴kMR•kMN=
16×
-21
3m2+4
m2×
-21
3m2+4
+7m×
-18m
3m2+4
+49
=
16×(-21)
4×49
=-
12
7

故直线MR，NR的斜率之积为定值-
12
7
．…（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
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1
2
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y
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31
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1
4
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1
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