已知函数f（x）=-4lnx-

1

2

ax²+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=-

1

2

，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）设函数g（x）=-

1

3

x³+

1

2

（a+2）x²+2（a+4）x，存在两个整数m、n，使得函数f（x），g（x）在区间（m，n）上都是增函数，求n的最大值，及n取最大值时a的取值范围．

将圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C₁、抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点．
（1）求C₁，C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交于不同两点M，N，且满足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直线l的方程； 若不存在，说明理由．

某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．
（1）现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？
（2）若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？
（3）若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？

已知函数f（x）=x²-2ax+b²，a∈R，b∈R．
（Ⅰ）若a从集合{0，1，2，3，4}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（Ⅱ）若a从区间[0，3]中任取一个数，b从区间[0，4]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

已知圆C的圆心在直线l：x-y+1=0上，且过点A（1，1）和B（2，-2）；
（1）求圆C的标准方程；
（2）线段MN的端点M的坐标是（10，8），端点N是圆C上的动点，且

MN

=-2

PN

，求P点的轨迹方程．

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：弦A_nA_n+1的斜率随n的增大而增大；
（3）若数列{b_n}满足a_n•b_n=2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n的值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（1，

3

2

），且离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（m，0）作圆O：x²+y²=

16

9

的切线l交椭圆C于A、B两点，求△ABO面积的最大值（O为坐标原点）．

已知椭圆

x2

4

+

y2

9

=1和动直线y=

3

2

x+m．
（1）当动直线与椭圆相交时，求m取值范围；
（2）当动直线与椭圆相交时，证明动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．

如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=

2

，BC=1，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B．

（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正切值．

已知

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），函数f（x）=

a

•

b

-

3

（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x-θ）（-

π

4

＜θ＜

π

4

）的图象关于y轴对称，试求θ的值．