Question

将圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C₁、抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点．
（1）求C₁，C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交于不同两点M，N，且满足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直线l的方程； 若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得C₁的方程为x²+（2y）²=4，抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点（1，0），由此能求出C₁，C₂的标准方程．
（2）设直线l方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，由此利用韦达定理、向量垂直，结合已知条件能求出l的方程．

解答： 解：（1）∵圆O：x²+y²=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C₁，
∴C₁的方程为x²+（2y）²=4，整理，得：

x2

4

+y2=1．
∵抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点（1，0），
∴C₂的方程为y²=4x．（4分）
（2）由题意知直线l的斜率不存在时，不满足题意，（6分）
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4(k2-1)

1+4k2

，①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即y₁y₂=k²（

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1）=-

3k2

1+4k2

，②（10分）
由

OM

⊥

ON

，即

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，
得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2，（11分）
∴存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．

点评：本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．