Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（1，

3

2

），且离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（m，0）作圆O：x²+y²=

16

9

的切线l交椭圆C于A、B两点，求△ABO面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

1 a2 + 9 4 b2 =1 a2-b2 a2 = 1 4

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）△ABO面积S=

1

2

×

4

3

×|AB|=

2

3

|AB|，|AB|最大时，△ABO面积最大．当直线AB的斜率不存在时，|AB|=

2 15

3

；直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-m），由直线AB与圆相切可知k²=

16

9m2-16

，将直线方程y=k（x-m）代入椭圆方程消y，得（4k²+3）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由弦长公式得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

12 2 |m|

16+27m2

11m2+16

，＜

12 2 |m|

16+27m2

≤

12 2 |m|

12 3 |m|

=

6

3

．所以|AB|的最大值为|AB|=

2 15

3

，△ABO面积的最大值为S=

2

3

|AB|=

4 15

9

．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点M(1，

3

2

)，且离心率为

1

2

，
∴

1 a2 + 9 4 b2 =1 a2-b2 a2 = 1 4

，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）∵△ABO面积S=

1

2

×

4

3

×|AB|=

2

3

|AB|，
∴|AB|最大时，△ABO面积最大．
当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x=m，
由直线AB与圆O：x²+y²=

16

9

相切，得m=±

4

3

，
把x=±

4

3

代入椭圆方程，得A（±

4

3

，

15

3

），B（±

4

3

，-

15

3

），|AB|=

2 15

3

，
∴△ABO面积S=

2

3

|AB|=

4 15

9

．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-m），
由直线AB与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离d=

|km|

k2+1

=

4

3

，
整理，得k²=

16

9m2-16

，
将直线方程y=k（x-m）代入椭圆方程消y，得（4k²+3）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，
△=64k⁴m²-4（4k²+3）（4k²m²-12）＞0，
∴4k²-k²m²+3＞0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

8k2m

4k2+3

，x₁x₂=

4k2m2-12

4k2+3

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

( 8k2m 4k2+3 )2-4• 4k2m2-12 4k2+3

=

1+k2

4k2+3

•4

3

•

4k2-k2m2+3

=

12 2 |m|

16+27m2

11m2+16

，
＜

12 2 |m|

16+27m2

≤

12 2 |m|

12 3 |m|

=

6

3

．
综上所述，|AB|的最大值为|AB|=

2 15

3

，
∴△ABO面积的最大值为S=

2

3

|AB|=

4 15

9

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．