Question

已知函数f（x）=-4lnx-

1

2

ax²+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=-

1

2

，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）设函数g（x）=-

1

3

x³+

1

2

（a+2）x²+2（a+4）x，存在两个整数m、n，使得函数f（x），g（x）在区间（m，n）上都是增函数，求n的最大值，及n取最大值时a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=-

4

x

+

1

2

x+1=

(x+4)(x-2)

2x

，x＞2，由此利用导数性质能求出f（x）_min=f（2）=-4ln2+3．
（Ⅱ）由（m，n）?（0，+∞），得n＞m≥0，g′（x）=-x²+（a+2）x+2（a+4）=-（x+2）[x-（a+4）]，g（x）＞0对x∈（m，n）恒成立，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出n的最大值为3，此a的取值范围是[-1，-

1

2

]．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-4lnx-

1

2

ax²+x，
∴f′(x)=-

4

x

+

1

2

x+1=

(x+4)(x-2)

2x

，x＞2
令f′（x）0，得x＞2，
∴f（x）在区间（0，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（2）=-4ln2+3．
（Ⅱ）由（m，n）?（0，+∞），得n＞m≥0，
g′（x）=-x²+（a+2）x+2（a+4）=-（x+2）[x-（a+4）]，
∵g（x）在（m，n）上是增函数，∴g（x）＞0对x∈（m，n）恒成立，
∴0≤m＜n≤a+4，于是a＞-4，①
f′(x)=-

4

x

-ax+1=

-ax2+x-4

x

，x＞0，
设h（x）=-ax²+x-4，则f′（x）＞0，即h（x）＞0对x∈（m，n）恒成立．
（1）当a＜0时，∵h（0）=-4＜0，∴h（a+4）=-a[（a+4）²-1]＞0，
解得a＞-3，或a＜-5，②
由①，②条件得-3＜a＜0，n≤a+4＜4，
又m，n为整数，∴m＜n≤3，
当且仅当

-3＜a＜0 3≤a+4＜4 h(2)=-4a-2≥0

，即-1≤a≤-

1

2

时，n_max=3．
（2）当a=0时，f′（x）＞0与g′（x）＞0无公共解，不适合条件．
（3）当a＞0时，由h（0）＜0，h（a+4）＜0，
要使f′（x）＞0与g′（x）＞0有公共解，
必须

0＜ 1 2a ＜a+4 △=1-16a＞0

，
∵该方程组无解，∴不适合条件．
综上所述，n的最大值为3，此a的取值范围是[-1，-

1

2

]．

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查实数n的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．