Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

9

=1和动直线y=

3

2

x+m．
（1）当动直线与椭圆相交时，求m取值范围；
（2）当动直线与椭圆相交时，证明动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）把直线y=

3

2

x+m代入椭圆方程

x2

4

+

y2

9

=1，得9x²+6mx+2m²-18=0，由此利用根的判别式能求出动直线与椭圆相交时，m取值范围．
（2）设直线与椭圆相交得到线段AB，设线段AB的中点为M（x，y），x=

x1+x2

2

=-

m

3

，点M在直线y=

3

2

x+m上，二者联立能证明动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线3x+2y=0上．

解答： （1）解：把直线y=

3

2

x+m代入椭圆方程

x2

4

+

y2

9

=1化简，
得9x²+6mx+2m²-18=0，
△=36m²-36（2m²-18），
∵动直线与椭圆相交，
∴△＞0，解得-3

2

＜m＜3

2

，
∴动直线与椭圆相交时，m取值范围是（-3

2

，3

2

）．
（2）证明：设直线与椭圆相交得到线段AB，
并设线段AB的中点为M（x，y），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程9x²+6mx+2m²-18=0的根，
∴x=

x1+x2

2

=-

m

3

，
∵点M在直线y=

3

2

x+m上，
与x=-

m

3

联立，消去m，得3x+2y=0．
∴动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线3x+2y=0上．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．