已知函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明（a²+1）xlnx≥x-1，在区间[1，+∞）恒成立；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0．n∈N^*）
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并求a_n；
（2）当a=

1

2

时，设b_n=S_n+λn+

λ

2n

，试确定实数λ的值，使数列{b_n}为等差数列；
（3）已知集合A={x|x²-（a+1）x+a≤0}，问是否存在正数a，使得对于任意的n∈N^*，都有S_n∈A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，an=an-1+(

1

2

)n，（n∈N*），则a_n=．

已知各项均为正数的等差数列{a_n}的前20项和为100，那么a₂•a₁₉的最大值是（　　）

已知双曲线C₁：

x2

a2

-8y²=1（a＞0）的离心率是

2

，抛物线C₂：y²=2px的准线过C₁的左焦点．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，4）是C₂上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．

某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如图表：
（Ⅰ）分别求出x，n，y的值；
（Ⅱ）若从样本中月均用水量在[5，6]内的5位居民a，b，c，d，e中任选2人作进一步的调查研究，求居民a被选中的概率．

分组	频数	频率
[0，1）	25	y
[1，2）		0.19
[2，3）	50	x
[3，4）		0.23
[4，5）		0.18
[5，6]	5

曲线

x2

25-k

+

y2

9-k

=1（9＜k＜25）的焦距为．

已知函数f（x）=x•lnx，g（x）=ax³-

1

2

x-

2

3e

．
（1）求f（x）的单调增区间和最小值；
（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；
（3）若x∈（0，e²]时，函数y=f（x）的图象恰好位于两条平行直线l₁：y=kx；l₂：y=kx+m之间，当l₁与l₂间的距离最小时，求实数m的值．

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=3，S₆=15，则S₉=（　　）

已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

2

，

2

a 2 n

=

1

a 2 n+1

+

1

a 2 n-1

（n≥2），则a₆=．