Question

已知函数f（x）=x•lnx，g（x）=ax³-

1

2

x-

2

3e

．
（1）求f（x）的单调增区间和最小值；
（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；
（3）若x∈（0，e²]时，函数y=f（x）的图象恰好位于两条平行直线l₁：y=kx；l₂：y=kx+m之间，当l₁与l₂间的距离最小时，求实数m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用,直线与圆

分析：（1）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；
（2）分别求出导数，设公切点处的横坐标为x_°，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到a；
（3）求出两直线的距离，再令h（x）=xlnx-（lnx_°+1）x-x_°，求出导数，运用单调性即可得到最小值，进而说明当d最小时，x_°=e，m=-e．

解答： 解：（1）因为f'（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得x＞

1

e

，
所以f（x）的单调增区间为(

1

e

，+∞)，
又当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，则f（x）在(0，

1

e

)上单调减，
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，则f（x）在(

1

e

，+∞)上单调增，
所以f（x）的最小值为f(

1

e

)=-

1

e

． 
（2）因为f'（x）=lnx+1，g′(x)=3ax2-

1

2

，
设公切点处的横坐标为x_°，
则与f（x）相切的直线方程为：y=（lnx_°+1）x-x_°，
与g（x）相切的直线方程为：y=(3ax°2-

1

2

)x-2ax°3-

2

3e

，
所以

lnx°+1=3ax°2- 1 2 -x°=-2ax°3- 2 3e

，
解之得x°lnx°=-

1

e

，
由（1）知x°=

1

e

，所以a=

e2

6

． 
（3）若直线l₁过（e²，2e²），则k=2，此时有lnx_°+1=2（x_°为切点处的横坐标），
所以x_°=e，m=-e，
当k＞2时，有l₂：y=（lnx_°+1）x-x_°，l₁：y=（lnx_°+1）x，且x_°＞2，
所以两平行线间的距离d=

x°

1+(lnx°+1)2

，
令h（x）=xlnx-（lnx_°+1）x+x_°，因为h'（x）=lnx+1-lnx_°-1=lnx-lnx_°，
所以当x＜x_°时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，x_°）上单调减；
当x＞x_°时，h'（x）＞0，则h（x）在(x°，e2)上单调增，
所以h（x）有最小值h（x_°）=0，即函数f（x）的图象均在l₂的上方，
令t(x)=

x2

ln2x+2lnx+2

，
则t′(x)=

2xln2x+4xlnx+4x-2xlnx-2x

(ln2x+2lnx+2)2

=

2xln2x+2xlnx+2x

(ln2x+2lnx+2)2

＞0，
所以当x＞x_°时，t（x）＞t（x_°），
所以当d最小时，x_°=e，m=-e．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，考查两直线的距离和构造函数运用导数判断单调性，再运用求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．