Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0．n∈N^*）
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并求a_n；
（2）当a=

1

2

时，设b_n=S_n+λn+

λ

2n

，试确定实数λ的值，使数列{b_n}为等差数列；
（3）已知集合A={x|x²-（a+1）x+a≤0}，问是否存在正数a，使得对于任意的n∈N^*，都有S_n∈A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等比数列的定义及其通项公式即可得出．
（2）当a=

1

2

时，由（1）利用等差数列的前n项和公式可得S_n=1-

1

2n

，b_n，要使{b_n}为等差数列，可得b₁+b₃=2b₂，解出λ即可．
（3）对a分类讨论，a≥1时比较简单．若0＜a＜1，可得A=[a，1]，利用等比数列的前n项和公式可得S_n=

a

1-a

-

an

1-a

．可得Sn∈[a，  

a

1-a

)．要使S_n∈A，必须

0＜a＜1 a 1-a ≤1

，解得即可．

解答： 解：（1）当n=1时，（a-1）a₁=a（a₁-1）得a₁=a＞0．
∵（a-1）S_n=a（a_n-1），
∴当n≥2时，（a-1）S_n-1=a（a_n-1-1），
两式相减得（a-1）a_n=a（a_n-a_n-1），化为a_n=aa_n-1．
∴a_n＞0恒成立，且

an

an-1

=a(n≥2)，
∴{a_n}是等比数列．
又{a_n}的首项a₁=a，公比为a，
∴an=an．
（2）当a=

1

2

时，由（1）得Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
∴bn=1-

1

2n

+λn+

λ

2n

=1+λn+

λ-1

2n

，
要使{b_n}为等差数列，则b₁+b₃=2b₂，
即1+λ+

λ-1

2

+1+3λ+

λ-1

23

=2(1+2λ+

λ-1

22

)，
解得λ=1，
又当λ=1时，b_n=n+1，
∴{b_n}为等差数列，
综上所述：λ=1．
（3）若a=1，则A={1}，S_n=n，∴S₂∉A，不合题意；
若a＞1，则A=[1，a]，S2=a+a2＞a，∴S₂∉A，不合题意；
若0＜a＜1，则A=[a，1]，Sn=a+a2+…+an=

a(1-an)

1-a

=

a

1-a

-

a1+n

1-a

．
∴Sn∈[a，  

a

1-a

)．
要使S_n∈A，则

0＜a＜1 a 1-a ≤1

，解得，0＜a≤

1

2

．
综上所述，满足条件的正数a存在，a的取值范围为(0，  

1

2

]．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等比数列的定义及其通项公S_n式、前n项和公式、集合的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．