在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈[

1

2

，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

已知正三棱柱的底边边长为1侧棱长为2，三棱柱内是否能放进一个体积为

4 3

125

的小球？

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且

1

a2

+

1

b2

=2，其中O为坐标原点．
（1）求

OP

•

OQ

的值；
（2）若椭圆长轴的取值范围为[

5

，

6

]，求椭圆的离心率e的取值范围．

已知函数f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0，a≠1）为R上的奇函数，且f（1）=

8

3

．
（Ⅰ）解不等式：f（x²+2x）+f（x-4）＞0；
（Ⅱ）若当x∈[-1，1]时，b^x+1＞a^2x-1恒成立，求b的取值范围．

设f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）证明：对于任意非零实数都有f（x）＞0．

已知函数f（x）=αsinx+αcosx+1-α（α∈R），x∈[0，

π

2

]，若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（2）=0，是否存在实数α，使得g[f（x）]＜0恒成立？若成立，求出α的取值范围，若不存在，说明理由．

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，若对所有的x∈[-1，1]及任意的a∈[-1，1]都满足f（x）≤t²-2at+1，则t的取值范围是（　　）

若函数f（x）=x²-2ax在（-∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，则实数a=．

设[x]表示不大于x的最大整数，则方程4x²-40[x]+51=0的实数解的个数是．