Question

已知函数f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0，a≠1）为R上的奇函数，且f（1）=

8

3

．
（Ⅰ）解不等式：f（x²+2x）+f（x-4）＞0；
（Ⅱ）若当x∈[-1，1]时，b^x+1＞a^2x-1恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0与f（1）=

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3

联立方程组解出函数的解析式f（x）=3^x-3^-x，然后判断出函数的单调性，综合利用奇偶性和单调性去函数符号求解；（Ⅱ）先解出b，然后将恒成立问题转化为最值问题求解．

解答： 解：由函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，得k-1=0，解得k=1，
则f（x）=a^x-a^-x，
又∵f（1）=

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3

，即a-a^-1=

8

3

，解得a=-

1

3

（舍去）或a=3，
∴f（x）=3^x-3^-x，
函数y=3^x和y=-3^-x都是R上的增函数，则f（x）=3^x-3^-x为R上的增函数，
（Ⅰ）不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0
移项得f（x²+2x）＞-f（x-4），
∵函数f（x）=3^x-3^-x在R上为奇函数，
∴f（x²+2x）＞f（4-x），
∵函数f（x）=3^x-3^-x在R上为增函数，
∴x²+2x＞4-x，
解之得x＞1，或x＜-4．
（Ⅱ）由题意得，当x∈[-1，1]时，b^x+1＞3^2x-1恒成立，
即b＞3 

2x-1

x+1

恒成立，
令y=3 

2x-1

x+1

=3 2-

3

x+1

，
由复合函数性质可知x∈[-1，1]时，函数单调递增，则x=1时，函数取得最大值

3

，
故b的取值范围是b＞

3

．

点评：本题考察函数的单调性和奇偶性求解不等式，和恒成立问题，解题的难点是在（Ⅱ）中解出b，然后转化．