Question

设f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）证明：对于任意非零实数都有f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数有意义则分母2^x-1≠0得其定义域，（2）当x＞0时明显成立，当x＜0时，先证f（-x）=f（x），函数为奇函数，然后由-x＞0转化求解．

解答： 解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，故函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）证明：当x＞0时，因为2^x＞1，显然f（x）＞0
因为f(-x)=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)
=x(

2x

2x-1

-

1

2

)=x(

2x-1+1

2x-1

-

1

2

)=x(

1

2x-1

+

1

2

)
=f（x）
所以，当x＜0时，-x＞0，故f（x）=f（-x）＞0
综上，f（x）＞0，命题得证．

点评：本题考察函数的定义域及其求法以及利用函数性质求证不等式，难点在证明中利用分类讨论和函数的奇偶性求证．