Question

已知函数f（x）=αsinx+αcosx+1-α（α∈R），x∈[0，

π

2

]，若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（2）=0，是否存在实数α，使得g[f（x）]＜0恒成立？若成立，求出α的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,探究型,分类讨论,转化思想,分类法,函数的性质及应用

分析：由题意，先将函数f（x）化简为f（x）=α[

2

sin（x+

π

4

）-1]+1，x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，再换元，令t=

2

sin（x+

π

4

）-1，得出t∈[0，

2

-1]，再由奇函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（2）=0，将g[f（x）]＜0恒成立转化为f（x）＜-2或0＜f（x）＜2，然后分类讨论即可得出答案．

解答： 解：存在α∈(-

2

-1，

2

+1)，符合题意，理由如下：
因为f（x）=α[

2

sin（x+

π

4

）-1]+1，x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，令t=

2

sin（x+

π

4

）-1，所以t∈[0，

2

-1]，（3分）
又奇函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（-∞，0）上也为增函数，且g（2）=g（-2）=0，
所以由g（x）＜0得 x＜-2或0＜x＜2，
∴由g[f（x）]＜0得：f（x）＜-2或0＜f（x）＜2，（7分）
若f（x）＜-2，即αt+1＜-2，即αt＜-3，当t=0时不满足，当t≠0时，α＜-

3

t

，而-

3

t

在[0，

2

-1]上的值域为（-∞，-3（

2

+1），故α不存在；
若0＜f（x）＜2，即0＜αt+1＜2，则当t=0时，0＜1＜2恒成立，a∈R；当t∈（0，

2

-1]时，则有-

1

t

＜α＜

1

t

，所以有|α|＜(

1

t

)min，则有|α|＜

1

2 -1

=

2

+1，所以-

2

-1＜α＜

2

+1，
综上得  α∈(-

2

-1，

2

+1)．（14分）

点评：本题是个难题，恒成立问题常转化为最值问题解决，本题考查了分类讨论的思想，转化的思想及换元的技巧，综合性强，技巧性强，应在作答本题后好好体会本题解答的思路方法．