Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈[

1

2

，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-3，-1]
• B、[-2，0]
• C、[-5，-1]
• D、[-2，1]

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：综合题,分析法,函数的性质及应用

分析：由题意，经考察四个选项，0不存在于A，C两个选项的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通过验证a的值取0与1时两种情况得出正确选项．

解答： 解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x）且在[1，+∞）上是增函数，可得出函数图象关于x=1对称，且函数在（-∞，1）上减，由此得出自变量离1越近，函数值越小，
综合考虑四个选项，四个选项中的集合中都有-1，0不存在于A，C两个选项的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通过验证a的值取0与1时两种情况得出正确选项．
当a=0时，不等式f（ax+2）≤f（x-1）变为f（2）≤f（x-1），有函数f（x）图象特征可得出|2-1|≤|x-1-1|，解得x≥3或x≤1，满足，不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈[

1

2

，1]恒成立，由此排除A，C两个选项．
当a=1时，不等式f（ax+2）≤f（x-1）变为f（x+2）≤f（x-1），有函数f（x）图象特征可得出|x+2-1|≤|x-1-1|，解得x≤

1

2

，不满足不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈[

1

2

，1]恒成立，由此排除D选项．
综上可知，B选项是正确的．
故选B．

点评：本题考查抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题，直接求解难度较大，根据正难则反的原则，采取排除法解答本题是最优的选项，借助四个选项中的特征找出切入点，通过验证两个特殊值0，1来排除错误选项得出正确选项，此种技巧在解答一些正面解答难度较大的选择题时有奇效，而将本题以填空与解答题的面目出现，则本题的解答技巧就无法使用了．