已知向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（cosx，-sinx），求函数f（x）=

a

•

b

+1．
（1）如果f（x）=

1

2

，求sin4x的值．
（2）如果x∈（0，

π

2

），求f（x）的取值范围．

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右交点，点P（-

2

，1）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足

PM

+

F2M

=

0

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A、B是椭圆上的动点，直线OA与OB的斜率乘积k_OA•k_OB=-

1

2

，动点N满足

ON

=

OA

+λ

OB

（其中实数λ为常数），问是否存在两个定点Q₁、Q₂，使得|NQ₁|+|NQ₂|=8？若存在，求Q₁、Q₂的坐标及λ的值；若不存在，说明理由．

已知点A、B为双曲线

x2

2

-

y2

25

=1的左右顶点，点P在双曲线上（异于A、B点），直线PA、PB分别交y轴于点C、D，证明：以CD为直径的圆过两定点．

已知双曲线

x2

a2

-y²=1的一个顶点与抛物线y²=4x的焦点重合，则该双曲线的离心率为．

已知双曲线C₁：

x2

3

-y²=1的左，右焦点分别为F₁，F₂，椭圆C₂：

x2

5

+y2=1，点P为C₁与C₂的一个交点，则△PF₁F₂的面积为（　　）

如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截：
（1）是否一定有AD∥BE∥CF；
（2）求证：

AB

BC

=

DE

EF

．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

5

，则双曲线的渐近线方程为（　　）

等轴双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，与直线x-2y=0交于A、B两点，且|AB|=2

15

，求双曲线方程．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，△ABC是正三角形，AC△与BD的交点M恰好是AC的中点，又是PA=AB=2，∠CDA=120°．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB．
（1）证明：PC⊥AB；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．