Question

已知向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（cosx，-sinx），求函数f（x）=

a

•

b

+1．
（1）如果f（x）=

1

2

，求sin4x的值．
（2）如果x∈（0，

π

2

），求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；
（1）借助诱导公式和二倍角公式，求出sin4x的值．
（2）先求出2x+

π

4

的范围，再根据正弦函数的单调性，求出函数的值域．

解答： 解：∵

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（cosx，-sinx），
∴f（x）=

a

•

b

+1=2sinxcosx-2sin²x+1=sin2x+co2x=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）∵f（x）=

1

2

，
∴

2

sin（2x+

π

4

）=

1

2

，
∴sin（2x+

π

4

）=

2

2

，
∴sin4x=-cos（4x+

π

2

）=-cos2（2x+

π

4

）=-[1-2sin²（2x+

π

4

）]=-1+2×

1

2

=0，
（2）∵x∈（0，

π

2

），
∴2x+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

），
∴-

2

2

＜sin（2x+

π

4

）＜1，
∴-1＜

2

sin（2x+

π

4

）＜

2

，
∴f（x）的取值范围（-1，

2

）．

点评：本题考查了三角函数的二倍角公式，三角函数的化简，向量的数量积，属于中档题．