Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，△ABC是正三角形，AC△与BD的交点M恰好是AC的中点，又是PA=AB=2，∠CDA=120°．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥面PAC，由此能证明BD⊥PC．
（Ⅱ）以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵△ABC是正三角形，M为AC的中点
∴AC⊥BD，
∵AP∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，PC?面PAC，
∴BD⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：∵AC⊥BD，M为AC中点，
∴AD=DC，又∠ADC=120°，
∴∠CAD=30°，∴∠BAD=90°，
以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），P（0，0，2），
B（2，0，0），C（1，

3

，0），D（0，

2 3

3

，0），
则

BD

=（-2，

2 3

3

，0），

PC

=（1，

3

，-2），

PD

=（0，

2 3

3

，-2），
由（Ⅰ）得BD⊥平面PAC，取面PAC的法向量为

n1

=（

3

，-1，0），
设面PBC的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），
由

PC • n2 =x2+ 3 y2-2z2=0 PD • n2 = 3 y2-2z2=0

，
取一个法向量为

n2

=（-1，

3

，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2 3

2• 5

=-

15

5

，
∴二面角A-PC-D的余弦值为

15

5

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．