题目内容
已知点A、B为双曲线
-
=1的左右顶点，点P在双曲线上（异于A、B点），直线PA、PB分别交y轴于点C、D，证明：以CD为直径的圆过两定点．
| x2 |
| 2 |
| y2 |
| 25 |
考点：双曲线的简单性质
专题：作图题,证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：作出图象，从而写出A，B，P，C，D等的坐标，要证明以CD为直径的圆过两定点，可转化为证明垂直，从而得证．
解答：
证明：作图如右图，设点P（m，n），
由题意，A（-
，0），B（
，0）；
则直线PA：
=
，直线PB：
=
，
故令x=0可解得，
C（0，
），D（0，
），
由图可知，M（-5，0），N（5，0），
=（-5，-
），
=（-5，-
），
故
•
=25+
•
=25+
，
由
-
=1可得，
-2n2=50-25m2，
故
•
=25+
=25-25=0，
以CD为直径的圆过点M，
同理可证以CD为直径的圆过点N；
故以CD为直径的圆过两定点．
证明：作图如右图，设点P（m，n），由题意，A（-
| 2 |
| 2 |
则直线PA：
| y |
| n |
x+
| ||
m+
|
| y |
| n |
x-
| ||
m-
|
故令x=0可解得，
C（0，
| ||
m+
|
-
| ||
m-
|
由图可知，M（-5，0），N（5，0），
| CM |
| ||
m+
|
| DM |
-
| ||
m-
|
故
| CM |
| DM |
| ||
m+
|
-
| ||
m-
|
=25+
| -2n2 |
| m2-2 |
由
| m2 |
| 2 |
| n2 |
| 25 |
-2n2=50-25m2，
故
| CM |
| DM |
| -2n2 |
| m2-2 |
以CD为直径的圆过点M，
同理可证以CD为直径的圆过点N；
故以CD为直径的圆过两定点．
点评：本题考查了学生的作图能力及双曲线的性质，属于中档题．
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| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、
|
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