Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右交点，点P（-

2

，1）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足

PM

+

F2M

=

0

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A、B是椭圆上的动点，直线OA与OB的斜率乘积k_OA•k_OB=-

1

2

，动点N满足

ON

=

OA

+λ

OB

（其中实数λ为常数），问是否存在两个定点Q₁、Q₂，使得|NQ₁|+|NQ₂|=8？若存在，求Q₁、Q₂的坐标及λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意，列出方程组

2 a2 + 1 b2 =1 - 2 +c=0 a2=b2+c2

，求出a²、b²，得椭圆的方程；
（2）设出N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题意求出N点的轨迹是椭圆

x2

4+4λ2

+

y2

2+2λ2

=1，
设出该椭圆的左、右焦点Q₁，Q₂，由椭圆的定义知|NQ₁|+|NQ₂|为定值；令定值等于8，求出λ的值，即可求出存在的定点Q₁、Q₂．

解答： 解：（1）∵点P（-

2

，1）在椭圆上，
∴

2

a2

+

1

b2

=1①，
又∵线段PF₂与y轴的交点M满足

PM

+

F2M

=

0

，
∴M为线段PF₂的中点，
∴-

2

+c=0②，
又a²=b²+c²③，
①②③联立

2 a2 + 1 b2 =1 - 2 +c=0 a2=b2+c2

，
解得a²=4，b²=c²=2，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）设N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

ON

=

OA

+λ

OB

，
∴（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂；
又∵点A、B在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上，
∴x12+2y12=4，x22+2y22=4，
∴x²+2y²=（x12+λ²x22+2λx₁x₂）+2（y12+λ²y22+2λy₁y₂）
=（x12+2y12）+λ²（x22+2y22）+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
=4+4λ²+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）；
又∵k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=4+4λ²；
即

x2

4+4λ2

+

y2

2+2λ2

=1，
∴N点是椭圆

x2

4+4λ2

+

y2

2+2λ2

=1上的点，
设该椭圆的左、右焦点为Q₁，Q₂，
由椭圆的定义知，|NQ₁|+|NQ₂|为定值；
又∵c²=2+2λ²，
∴此椭圆的两焦点的坐标为Q₁（-

2+2λ2

，0），Q₂（

2+2λ2

，0）；
令|NQ₁|+|NQ₂|=2（

4+4λ2

）=8，
解得λ=±

3

，
∴存在两个定点Q₁（-2

2

，0），Q₂（2

2

，0），
使得|NQ₁|+|NQ₂|=8，此时λ=±

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点在椭圆上满足椭圆的方程、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理和计算能力，是难题．