正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE、EF、AF折成四面体则四面体PAEF使B、C、D三点重合于P，则P到面AEF的距离为．

已知正四棱锥的侧棱长都为5，全面积为16，求它的底面边长．

已知x²+y²-4x+2y-11=0的圆心为A，点P在圆上，求PA中点M的轨迹方程．

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，△MF₁F₂的面积为4，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，△ABF₂的周长为8

2

．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若N是左标平面内一动点，G是△MF₁F₂的重心，且

GF2

•

ON

=0，求动点N的轨迹方程；
（Ⅲ）点p审此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（Ⅱ）中所求得轨迹的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求

PQ

•

PR

的最小值．

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为

1

2

a，则该双曲线的离心率为（　　）

若椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

3

2

，点D（

a

2

，

3

2

）在该椭圆上．
（1）求椭圆方程；
（2）在直线x=

4 3

3

上任取点P，过P作椭圆切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），证明：直线PA方程为

x1x

4

+yy₁=1，且直线AB过定点．

方程

x2

3

-

y2

sin(2a+ π 4 )

=1表示椭圆，则a的取值范围是（　　）

已知焦点在x轴上的椭圆C的短轴长为2，离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图所示，A₁，A₂，B₁，B₂是椭圆C的顶点，E是椭圆上任意一点（顶点除外）B₁E交x轴于点P，直线A₂B₁交A₁E于点G，设直线A₁E的斜率为k₁，直线GP的斜率为k₂，证明k₁-2k₂为定值，并求出这个定值．

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

，
（Ⅰ）求证：PD⊥AC；
（Ⅱ）已知棱PA上有一点E，若二面角E-BD-A的大小为45°，试求BP与平面EBD所成角的正弦值．

桌面上一矩形纸板ABCD，绕边AB旋转

π

4

，再绕边AD旋转

π

4

，则此时的平面与旋转前的平面所成的二面角的大小为．