Question

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为

1

2

a，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

  2

• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：第一步：写出双曲线的渐近线方程，并化为一般式；
第二步：根据点到直线的距离公式及|PF|的最小值列出a，b，c的等量关系，从而得到a，c的齐次关系式；
第三步：由e=

c

a

得双曲线的离心率．

解答： 解：由双曲线的方程，得其渐近线方程为y=±

b

a

x，即bx±ay=0，
|PF|的最小值即为焦点F（c，0）到渐近线的距离，
由题意得

|bc|

a2+b2

=

1

2

a，由a²+b²=c²，得a=2b，
∴a²=4b²=4（c²-a²），即5a²=4c²，
得双曲线的离心率e=

c

a

=

5

2

．
故选C．

点评：本题考查了双曲线的离心率的求法，关键是根据题设条件得到关于a，c的齐次等式．值得注意的是，隐含条件a²+b²=c²可实现b与a，c之间的转化．