Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

，
（Ⅰ）求证：PD⊥AC；
（Ⅱ）已知棱PA上有一点E，若二面角E-BD-A的大小为45°，试求BP与平面EBD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先利用已知条件求出相关的线段长，进一步简零件直角坐标系，利用向量垂直的充要条件求出线线垂直．
（Ⅱ）利用题中的垂直求出相关平面的法向量，再利用向量的共线，向量的数量积求出，线面的夹角所成的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点H，由于△PAB是正三角形，AB=2，
得：PH⊥AB，且PH=

3

，
已知底面ABCD是矩形，则：AB=2，BC=

2

，
所以：HC=

3

，又因为：PC=

6

，
所以：PH²+HC²=PC²，
所以：PH⊥HC．
设AC与BD相交于D，以H为原点，HA，HO，HP为X、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：A=（1，0，0），B=（-1，0，0），D=（1，

2

，0），C=（-1，

2

，0），p=（0，0，

3

），
所以：

PD

=(1，

2

，-

3

)，

AC

=(-2，

2

，0)，
所以：

PD

•

AC

=0，
即PD⊥AC；
（Ⅱ）E为PA上一点，不妨设

AE

=λ

AP

（0＜λ＜1），
则：E的坐标为：（1-λ，0，

3

λ），
所以：

BE

=(2-λ，0，

3

λ)，

BD

=(2，

2

，0)，
设

n

=(x，y，z)为平面EBD的法向量，
则可求得：

n

=(-

6

λ，2

3

λ，2

2

-

2

λ)，
又由于平面ABD的法向量为：

HP

=(0，0，

3

)，
已知二面角E-BD-A的大小为45°，
则cos45°=|cos＜

n

，

HP

＞|=|

HP • n

| HP |•| n |

|=

|2 6 - 6 λ|

20λ2-8λ+8 • 3

=

2

2

，
整理得：2λ²+λ-1=0，
由于0＜λ＜1，
所以：λ=

1

2

．
设θ为BP和平面EBD的夹角，
所以：sinθ=cos＜

BP

，

n

＞=

6

6

，
则：BP与平面EBD所成角的正弦值为

6

6

．

点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，法向量，向量的共线问题，向量的数量积，线面的夹角问题．属于中档题型．