已知椭圆的中心在坐标原点O.焦点在X轴上.F1.F2分别是椭圆的左.右焦点.M是椭圆短轴的一个端点.△MF1F2的面积为4.过F1的直线l与椭圆交于A.B两点.△ABF2的周长为82．(Ⅰ)求此椭圆的方程,(Ⅱ)若N是左标平面内一动点.G是△MF1F2的重心.且GF2•ON=0.求动点N的轨迹方程,(Ⅲ)点p审此椭圆上一点.但非短轴端点.并且过P可作(Ⅱ)中所求得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，△MF₁F₂的面积为4，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，△ABF₂的周长为8

．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若N是左标平面内一动点，G是△MF₁F₂的重心，且

GF2

•

=0，求动点N的轨迹方程；
（Ⅲ）点p审此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（Ⅱ）中所求得轨迹的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求

•

的最小值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，由椭圆的定义可得a，再由面积公式，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设N（x，y），由重心坐标公式，结合向量的数量积坐标公式，即可得到轨迹方程；
（Ⅲ）判断动点N的轨迹，设P（m，n），则根据平面几何知识得到|

|=|

|，及cos＜

，

＞，从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

•

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的方程为

=1(a＞b＞0)，
因为M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，
△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

，
所以 4a=8

，

•b•2c=4，
∴

bc=4

b2+c2=8

∴b=c=2，a=2

，
所以，所求的椭圆方程为

=1．
（Ⅱ）设N（x，y），则由（Ⅰ）得F₁（-2，0），F₂（2，0），所以G(

，

)，
从而

GF2

=(2-

，-

)，

=(x，y)．因为

GF2

•

=0，
所以有(2-

，-

)•(x，y)=(2-

)x+(-

)y=0，即x2+y2-6x=0，
由于G是△NF₁F₂的重心，即N，F₁，F₂应当是一个三角形的三个顶点，
因此所求动点N的轨迹方程为x²+y²-6x=0（y≠0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知动点N的轨迹方程为x²+y²-6x=0（y≠0），
即（x-3）²+y²=9（y≠0）．
显然此轨迹是以点C（3，0））为圆心，半径r=3的圆
除去两点（0，0），（6，0）剩余部分的部分曲线．
设P（m，n），则根据平面几何知识得|

|=|