题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，△MF1F2的面积为4，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，△ABF2的周长为8
．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若N是左标平面内一动点，G是△MF1F2的重心，且
•
=0，求动点N的轨迹方程；
（Ⅲ）点p审此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（Ⅱ）中所求得轨迹的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求
•
的最小值．
| 2 |
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若N是左标平面内一动点，G是△MF1F2的重心，且
| GF2 |
| ON |
（Ⅲ）点p审此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（Ⅱ）中所求得轨迹的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求
| PQ |
| PR |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，由椭圆的定义可得a，再由面积公式，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设N（x，y），由重心坐标公式，结合向量的数量积坐标公式，即可得到轨迹方程；
（Ⅲ）判断动点N的轨迹，设P（m，n），则根据平面几何知识得到|
|=|
|，及cos＜
，
＞，从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得
•
的最小值．
（Ⅱ）设N（x，y），由重心坐标公式，结合向量的数量积坐标公式，即可得到轨迹方程；
（Ⅲ）判断动点N的轨迹，设P（m，n），则根据平面几何知识得到|
| PQ |
| PR |
| PQ |
| PR |
| PQ |
| PR |
解答：
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)，
因为M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，
△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为8
，
所以 4a=8
，
•b•2c=4，
∴
∴b=c=2，a=2
，
所以，所求的椭圆方程为
+
=1．
（Ⅱ）设N（x，y），则由（Ⅰ）得F1（-2，0），F2（2，0），所以G(
，
)，
从而
=(2-
，-
)，
=(x，y)．因为
•
=0，
所以有(2-
，-
)•(x，y)=(2-
)x+(-
)y=0，即x2+y2-6x=0，
由于G是△NF1F2的重心，即N，F1，F2应当是一个三角形的三个顶点，
因此所求动点N的轨迹方程为x2+y2-6x=0（y≠0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知动点N的轨迹方程为x2+y2-6x=0（y≠0），
即（x-3）2+y2=9（y≠0）．
显然此轨迹是以点C（3，0））为圆心，半径r=3的圆
除去两点（0，0），（6，0）剩余部分的部分曲线．
设P（m，n），则根据平面几何知识得|
|=|
|=
=
，
cos＜
，
＞=cos2∠QPC=1-2sin2∠QPC=1-2•（
）2=1-
，
从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得：
•
=|
|•|
|•cos＜
，
＞=[（m-3）2+n2-9]•[1-
]
=[（m-3）2+n2]+
-27≥2
-27=18
-27．
当且仅当(m-3)2+n2=9
时，取“=”（※）
由点P（m，n）在椭圆
+
=1上（非短轴端点），并且在圆（x-3）2+y2=9外，
可知3＜|
|≤3+2
但|
|≠|
|=
⇒(m-3)2+n2∈(9，13)∪(13，17+12
]
由于9
∈(9，13)，所以条件（※）的要求满足．
因此
•
的最小值为18
-27．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
因为M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，
△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为8
| 2 |
所以 4a=8
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
|
| 2 |
所以，所求的椭圆方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设N（x，y），则由（Ⅰ）得F1（-2，0），F2（2，0），所以G(
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
从而
| GF2 |
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
| ON |
| GF2 |
| ON |
所以有(2-
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
由于G是△NF1F2的重心，即N，F1，F2应当是一个三角形的三个顶点，
因此所求动点N的轨迹方程为x2+y2-6x=0（y≠0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知动点N的轨迹方程为x2+y2-6x=0（y≠0），
即（x-3）2+y2=9（y≠0）．
显然此轨迹是以点C（3，0））为圆心，半径r=3的圆
除去两点（0，0），（6，0）剩余部分的部分曲线．
设P（m，n），则根据平面几何知识得|
| PQ |
| PR |
|
|
| (m-3)2+n2-9 |
cos＜
| PQ |
| PR |
| r | ||
|
|
| 18 |
| (m-3)2+n2 |
从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得：
| PQ |
| PR |
| PQ |
| PR |
| PQ |
| PR |
| 18 |
| (m-3)2+n2 |
=[（m-3）2+n2]+
| 162 |
| (m-3)2+n2 |
| 162 |
| 2 |
当且仅当(m-3)2+n2=9
| 2 |
由点P（m，n）在椭圆
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
可知3＜|
| PC |
| 2 |
| PC |
| MC |
| 13 |
| 2 |
由于9
| 2 |
因此
| PQ |
| PR |
| 2 |
点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查轨迹方程的求法，考查平面向量的数量积的定义和性质，考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
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是纯虚数，则实数a的值为（ ）
| z1 |
| z2 |
A、-
| ||
B、
| ||
| C、-6 | ||
| D、6 |
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=