已知函数f（x）=log₂（x+

a

x

-2），其中常数a＞0．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围；
（2）记函数f（x）在[2，+∞）上的最小值为g（a），求关于a的方程g（a）=m的解（用m表示）．

若函数y=log₂（x-1）图象上第一象限有一点A到x轴的距离为1，与x轴的交点为B，则（

OA

+

OB

）•

AB

=．

已知数列{a_n}的各项均为正数．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求证：数列{

n	a1a2…an

}是等比数列；
（2）若数列{lga_na_n+1}是等差数列，试判断{a_n}是否一定为等比数列？若一定是，请给出证明；若不一定是，请给出一反例．
（3）若数列{lg（a_na_n+1a_n+2）}和数列{lg（a_na_n+1a_n+2a_n+3）}均为等差数列，试判断数列{a_n} 是否为等比数列？请证明你的结论．
本题可进一步探索：
若数列{lg（a_na_n+1…an+p-1）}和数列{lg（a_na_n+1…a_n+g-1）}均为等差数列，其p，q≥2且互质，试判断数列{a_n} 是否为等比数列？请证明你的结论．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

2

，其左右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，y₀）是圆x²+y²=

7

4

上一点，且

PF1

•

PF2

=

3

4

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不垂直x轴的直N线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，直线F₂M与F₂N倾斜角分别为α，β，且α+β=π．证明直线l过定点，并求出定点坐标．

已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}是等比数列，其中a₁=b₁=1，a₄=7，a₅=b₂，且存在常数a，β使得对每一个正数n都有a_n=1og_ab_n+β，则a+β=（　　）

已知正项等比数列{an}中，3a1，

1

2

a3，2a2成等差数列，则

a2011+a2012

a2009+a2010

=（　　）

设函数f（x）=

ax

e2x

+b，其中a＞0，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线为直线l，证明：f（x）=

ax

e2x

+b的图象恒在切线l的下方（除切点外）．
（2）当a=1，设函数F（x）=f（x）-|lnx|，若?x₀∈（0，+∞），使得F（x₀）=0，求实数b的最小值．

下列命题中真命题的个数有（　　）
（1）集合{小于1的正有理数}是一个有限集；
（2）集合{y|y=x²-1}与集合{（x，y）|y=x²-1}是同一个集合；
（3）1，

3

2

，

6

4

，|-

1

2

|，0.5，这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n+p•2ⁿ+1（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+1，a₃成等差数列．（1）求p的值和数列{a_n}的通项公式；（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b₂=4，满足4 Sn-n=（a_n-n） bn（n∈N^*），求证：（1+

1

bn

） 

1

2

bn＜

5

3

．