题目内容

已知数列{an}的各项均为正数．
（1）若数列{an}是等比数列，求证：数列{
na1a2…an
}是等比数列；
（2）若数列{lganan+1}是等差数列，试判断{an}是否一定为等比数列？若一定是，请给出证明；若不一定是，请给出一反例．
（3）若数列{lg（anan+1an+2）}和数列{lg（anan+1an+2an+3）}均为等差数列，试判断数列{an} 是否为等比数列？请证明你的结论．
本题可进一步探索：
若数列{lg（anan+1…an+p-1）}和数列{lg（anan+1…an+g-1）}均为等差数列，其p，q≥2且互质，试判断数列{an} 是否为等比数列？请证明你的结论．
考点：数列的应用,进行简单的合情推理
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）设{an}公比为q，则an=a1qn-1，从而
na1a2…an
=a1q
n-1
2
，由此能证明数列{
na1a2…an
}是公比为
q
的等比数列．
（2）设lgan+1an+2-lganan+1=d，则
an+2
an
=10d为一常数．{an}不一定为等比数列．可以举出反例．
（3）数列{an}是等比数列．由条件得
an+1
an
=q13为一常数，
an+4
an
=q24为一常数，由已知条件能推导出q1=q2=t．且
an+1
an
=t为一常数，由此能证明数列{an}是等比数列．
解答： （1）证明：设{an}公比为q，则an=a1qn-1，
则
na1a2…an
=a1q
n-1
2
，
∴
na1a2…an
n-1a1a2…an-1
=
a1q
n-1
2
a1q
n-2
2
=
q
，
∴数列{
na1a2…an
}是公比为
q
的等比数列．
（2）解：设lgan+1an+2-lganan+1=d，
则
an+2
an
=10d为一常数．{an}不一定为等比数列．
如：1，1，2，2，4，4，…，2n，2n．
（3）解：数列{an}是等比数列．
证明：由条件得
an+1
an
=q13为一常数，
an+4
an
=q24为一常数．（q1，q2＞0）
故a13=a1(q13)4=a1q112，a12=a1(q2)3=a1q212，所以q1=q2=t．
?n∈N*，由条件an+4=anq24=ant4，an+4=an+1q13=an+1t3，
故
an+1
an
=t为一常数，所以数列{an}是等比数列．
点评：本题考查等比数列的证明与判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（　　）
A、（4，8）
B、（4，+∞）
C、（0，4）
D、（8，+∞）
在△ABC中（如图1），已知AC=BC=2，∠ACB=120°，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，EF交CD于G，把△ADC沿CD折成如图2所示的三棱锥C-A1BD．
（1）求证：E1F∥平面A1BD；
（2）若二面角A1-CD-B为直二面角，求直线A1F与平面BCD所成的角．
如图是计算
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）
A、K＞5？B、K＜5？
C、K＞10？D、K＜10？
设函数f（x）=
ax
e2x
+b，其中a＞0，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线为直线l，证明：f（x）=
ax
e2x
+b的图象恒在切线l的下方（除切点外）．
（2）当a=1，设函数F（x）=f（x）-|lnx|，若?x0∈（0，+∞），使得F（x0）=0，求实数b的最小值．
如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点，一只青蛙按瞬时针方向绕圆从一个点跳到下一个点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点，若停在偶数点上，则可以连续跳2个点．该青蛙从5这点起跳，经2009次跳后它将停在的点是（　　）
A、1B、2C、3D、4
设复数z=a+bi（a，b∈R），且满足zi=1+i（其中i为虚数单位），则a+b=
 
．
阅读程序框图，若输入m=1，n=2，则输出n=（　　）
A、1B、-1C、2D、-2
已知点P（x，y）的坐标满足条件：
y≤0
y≥x
x≥-1
，则
3
x+y的最小值为（　　）
A、
3
B、0
C、-
3
-1
D、-
3
+1

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