Question

已知函数f（x）=log₂（x+

a

x

-2），其中常数a＞0．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围；
（2）记函数f（x）在[2，+∞）上的最小值为g（a），求关于a的方程g（a）=m的解（用m表示）．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数的最值及其几何意义,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）得出x+

a

x

-2=

x2-2x+a

x

＞0，分类讨论求解即可．
（2）分离参数转化为函数求解a＞-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，得出a＞2．
（3）求出函数关系式g（a）=

log2 a 2 ，a＜4 log2(2 a -2)，a≥4

分段解方程即可解得a=

2m+1，m＜1 (2m-1+1)2，m≥1

．

解答： 解：（1）x+

a

x

-2=

x2-2x+a

x

＞0，
若a＞1，定义域为{x|x＞0}；
若a=1，定义域为{x|x＞0且x≠1}；
若0＜a＜1，
定义域为{x|x＞1+

1-a

或0＜x＜1-

1-a

}．
（2）x+

a

x

-2=

x2-2x+a

x

＞0，（x≥2），
∴a＞-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，∴a＞2．
（3）g（a）=

log2 a 2 ，a＜4 log2(2 a -2)，a≥4

，解得a=

2m+1，m＜1 (2m-1+1)2，m≥1

．

点评：本题综合考查了函数的性质，运用不等式，最值问题求解，属于中档题，关键是恒等变形，构造函数．