已知F₁、F₂分别是双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，且F₂是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，双曲线C₁与抛物线C₂的一个公共点是P，若线段PF₂的中垂线恰好经过焦点F₁，则双曲线C₁的离心率是（　　）

如图，平面ABB₁A₁为圆柱OO₁的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A₁D∥平面O₁BC．

已知抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线方程为l：4x+y-20=0．
（1）求抛物线S的方程；
（2）若M（m，3）在抛物线S的准线上，过点M的直线与抛物线在第一象限的切点为N，记F为抛物线S的焦点，求直线NF的斜率．
（注：△ABC重心：G（

xA+xB+xC

3

，

yA+yB+yC

3

））

如图，在棱长为2的正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB₁的中点．
（1）求证：BD₁⊥B₁C；
（2）求证：BD₁⊥平面MNP．

在△ABC中，求证sin²A+sin²B+sin²C≤

9

4

．

知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个焦点为F₁，F₂．点A在双曲线第一象限的图象上，若△AF₁F₂的面积为1，并且tan∠AF₁F₂=

1

2

．tan∠AF₂F₁=-2．则双曲线的方程为．

空间中有四点A，B，C，D，其中

AB

=（2m，m，2），

CD

=（m，m+1，-5），且

AB

+

CD

=（5，

13

3

，-3），则直线AB和CD（　　）

已知函数f（x）=alnx-x（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a-x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α

已知函数f（x）=2lnx+

(m-1)(x2-1)

x

（m∈R）
（1）当m=2时，求函数f（x）在区间[

1

2

，e]上的最大值和最小值
（2）若x≥1，函数f（x）≤0恒成立，求m的取值范围．

已知函数f（x）=e^-x-e^x（其中e为自然对数的底数），a，b，c∈R且满足a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值．