Question

如图，平面ABB₁A₁为圆柱OO₁的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A₁D∥平面O₁BC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）只要证明BC垂直于平面A₁AC的两条相交直线AC，AA₁即可；
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O₁E，只要证明A₁D∥EO₁，然后利用线面平行的判定定理即可证明结论．

解答： 证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点
∴BC⊥AC        …（2分）
又圆柱OO₁中，AA₁⊥底面圆O，
∴AA₁⊥BC，即BC⊥AA₁     …（4分）
而AA₁∩AC=A
∴BC⊥平面A₁AC           …（6分）
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O₁E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=

1

2

AB        …（8分）
又圆柱OO₁中，A₁O₁∥AB，且A1O1=

1

2

AB
∴DE∥A₁O₁，DE=A₁O₁
∴A₁DEO₁为平行四边形       …（10分）
∴A₁D∥EO₁            …（11分）
而A₁D?平面O₁BC，EO₁?平面O₁BC
∴A₁D∥平面O₁BC            …（12分）

点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．