题目内容
已知抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线方程为l：4x+y-20=0．
（1）求抛物线S的方程；
（2）若M（m，3）在抛物线S的准线上，过点M的直线与抛物线在第一象限的切点为N，记F为抛物线S的焦点，求直线NF的斜率．
（注：△ABC重心：G（
，
））
（1）求抛物线S的方程；
（2）若M（m，3）在抛物线S的准线上，过点M的直线与抛物线在第一象限的切点为N，记F为抛物线S的焦点，求直线NF的斜率．
（注：△ABC重心：G（
| xA+xB+xC |
| 3 |
| yA+yB+yC |
| 3 |
考点：抛物线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设抛物线S的方程为y2=2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用重心公式即可求得p值，从而解决问题．
（2）求出N的坐标，再求直线NF的斜率．
（2）求出N的坐标，再求直线NF的斜率．
解答：
解：（1）设抛物线S的方程为y2=2px．
4x+y-20=0与抛物线联立，可得2y2+py-20p=0．
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=-
，
∴x1+x2=10+
设A（x3，y3），由△ABC的重心为F（
，0），
则利用重心坐标公式可得x3=
-10，y3=
∵点A在抛物线S上，
∴(
)2=2p（
-10），
∴p=8．
∴抛物线S的方程为y2=16x；
（2）抛物线S的准线方程为x=-4，M（m，3）在抛物线S的准线上，
∴M（-4，3），
设N（a，b），则由y2=16x可得y=4
，∴y′=
，
∴kMN=
，
∵kMN=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴N（
，3+9
），
∴直线NF的斜率为
．
4x+y-20=0与抛物线联立，可得2y2+py-20p=0．
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=-
| p |
| 2 |
∴x1+x2=10+
| p |
| 8 |
设A（x3，y3），由△ABC的重心为F（
| p |
| 2 |
则利用重心坐标公式可得x3=
| 11p |
| 8 |
| p |
| 2 |
∵点A在抛物线S上，
∴(
| p |
| 2 |
| 11p |
| 8 |
∴p=8．
∴抛物线S的方程为y2=16x；
（2）抛物线S的准线方程为x=-4，M（m，3）在抛物线S的准线上，
∴M（-4，3），
设N（a，b），则由y2=16x可得y=4
| x |
| 2 | ||
|
∴kMN=
| 2 | ||
|
∵kMN=
| b-3 |
| a+4 |
∴
4
| ||
| a+4 |
| 2 | ||
|
∴
| a |
3+3
| ||
| 4 |
∴N（
36+9
| ||
| 8 |
| 7 |
∴直线NF的斜率为
8(555-9
| ||
| 551 |
点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定抛物线的方程是关键．
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