Question

在△ABC中，求证sin²A+sin²B+sin²C≤

9

4

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用,推理和证明

分析：利用降幂扩角公式，结合和差化积公式，即可得出结论．

解答： 证明：sin²A+sin²B+sin²C=

1-cos2A

2

+

1-cos2B

2

+

1-cos2C

2

=

3

2

-

1

2

[cos2A+cos2B+cos（2A+2B）]
=

3

2

-

1

2

[2cos（A+B）cos（A-B）+2cos²（A+B）-1]
=2-[cos²C-cosCcos（A-B）]
=2-[cos²C-cosCcos（A-B）+

1

4

cos²（A-B）-

1

4

cos²（A-B）]
=2+

1

4

cos²（A-B）-[cosC-

1

2

cos（A-B）]²
≤2+

1

4

cos²（A-B）=

9

4

（A=B=C时取等号）．

点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．