Question

已知函数f（x）=2lnx+

(m-1)(x2-1)

x

（m∈R）
（1）当m=2时，求函数f（x）在区间[

1

2

，e]上的最大值和最小值
（2）若x≥1，函数f（x）≤0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的最值及其几何意义,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数f（x）在区间[

1

2

，e]上单调递增，即可求函数f（x）在区间[

1

2

，e]上的最大值和最小值
（2）若x≥1，函数f（x）≤0恒成立，等价于m-1≤

2xlnx

1-x2

，求出

2xlnx

1-x2

＜0，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）当m=2时，f（x）=2lnx+x-

1

x

，
∴f′（x）=

2

x

+1+

1

x2

，
∴函数f（x）在区间[

1

2

，e]上单调递增，
∴函数f（x）在区间[

1

2

，e]上的最大值为2+e-

1

e

，最小值为-2ln2-

3

2

；
（2）x≥1，2lnx+

(m-1)(x2-1)

x

≤0等价于m-1≤

2xlnx

1-x2

，
设y=2xlnx，则y′=-2lnx-2，
∵x≥1，∴函数在（1，+∞）上单调递减，
从而g（x）=

2xlnx

1-x2

在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜0，
∴m-1≤0，
∴m≤1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．