Question

已知函数f（x）=alnx-x（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a-x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先利用导数研究函数的单调性，然后求其最值；
（2）将不等式化简归零，然后问题转化为不等式恒成立问题，再构造函数，将问题转化为函数的最值问题，利用导数解决；
（3）结合（2）的结论，利用函数的单调性可推出结果．

解答： 解：（Ⅰ）令f′(x)=

a

x

-1=

a-x

x

=0，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．
故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．
故f（x）_max=f（a）=alna-a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a-x）-f（a+x），即g（x）=aln（a-x）-aln（a+x）+2x．
所以g′(x)=

-a

a-x

-

a

a+x

+2=

-2x2

a2-x2

，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a-x）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a-α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a-α）=f[a+（a-α）]＞f[a-（a-α）]=f（α）=f（β）．
又2a-α＞a，β＞a．所以2a-α＜β，即α+β＞2a．

点评：本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．