已知定义在R上的函数y=f（x）的图象是一条不间断的曲线，f（a）≠f（b），其中a＜b，设F（x）=f（x）-

f(a)+f(b)

2

，求证：函数F（x）在（a，b）上有零点．

已知函数f（x）=mxlnx（m＞0），f（x）在点（e，f（e））处的切线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且△AOB的面积为

e2

4

，证明：当x＞e时，对于任意正实数t不等式f（x+t）＜f（x）e^t恒成立．

函数f（x）=mx+1-m在区间[0，1]上无零点，则m的取值范围是．

在曲线y=x³-x上有两个点O（0，0），A（2，6），若I是

OA

上的一点，并使得△AOI的面积最大，求I点的坐标．

已知曲线y=f（x）及y=f（x）sinωx，其中f（x）＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处有相同的切线．

函数f（x）=cos2x-2

3

sinxcosx下列命题中正确的是（　　）
（1）若存在x₁，x₂有x₁-x₂=z时，f（x₁）=f（x₂）成立
（2）f（x）在[-

π

6

，

π

3

]是单调递增
（3）函数f（x）关于点（

π

12

，0）成中心对称图象
（4）将函数f（x）的图象向左平移

5π

12

个单位后将与y=2sin2x重合．

设函数f（x）=

1-a

2

x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2+a恒成立，求a的取值范围．

已知f（x）=（ax²+（a-1）²x-a²+3a-12）e^x，a≥0，g（x）=lnx-x-3．
（1）求g（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求a的取值范围；
（3）当a=0时，设h（x）=

f(x)

ex

+g（x），若直线y=kx+b与曲线y=h（x）的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中0＜x₁＜x₂，证明：k（x₁+x₂）＞2成立．

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=CC₁，M是A₁B₁的中点，则AC₁与BM所成角的余弦值为．

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=

3

，AA₁=

6

，则异面直线BD₁与CC₁所成的角等于（　　）