Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F是左焦点，A、B分别是虚轴上、下两端，C是它的左顶点，直线AC与直线FB相交于点D，若双曲线的离心率为

2

，则∠BDA的余弦值等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2 3 - 6

  6

• C、

  1

  2

• D、

  3 - 2

  4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据离心率为

2

，得到双曲线是等轴双曲线，然后求出相应直线的倾斜角，利用两角和的余弦公式即可得到结论．

解答： 解：∵双曲线的离心率为

2

，
∴双曲线是等轴双曲线，即a=b，c=

2

a，
由题意得A（0，b），B（0，-b），C（-a，0），F（-c，0），
即A（0，a），B（0，-a），C（-a，0），F（-

2

a，0），
则直线AC的方程为

x

-a

+

y

a

=1，即-x+y=a，
则AC的斜率为1，即∠FCD=∠ACx=

π

4

，
∵OF=c=

2

a，OB=b=a，
∴BF=

3

a，
则sin∠OFB=

a

3 a

=

3

3

，cos∠OFB=

2 a

3 a

=

6

3

，
则cos∠BDA=cos（∠OFB+

π

4

）=

2

2

（cos∠OFB-sin∠OFB）
=

2

2

×(

6

3

-

3

3

)=

2 3 - 6

6

，
故选：B

点评：本题主要考查考查三角函数两角和的余弦公式的应用，根据条件确定双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．