Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a_n=

1

n(n+1)

．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃的值，猜想S_n的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据题设条件，可求S₁，S₂，S₃的值，猜想S_n的表达式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n=

1

n(n+1)

，
∴S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，
猜想S_n=

n

n+1

；
（Ⅱ）①n=1时，S₁=

1

2

成立；
②假设n=k时，成立，即S_k=

k

k+1

，
则当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=

k+1

(k+1)+1

，
即当n=k+1时，结论也成立
综上①②知，S_n=

n

n+1

．

点评：本题主要考查了数列的递推式，考查数学归纳法．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．