Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-9x（a≠0），当x=-1时f（x）取得极值5．
（Ⅰ）求f（x）的极小值；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈（-3，3），判断不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜32是否能恒成立，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）是实数集上的可导函数，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起相关等式，运用待定系数法确定a、b的值，进而得到极小值；
（Ⅱ）分别求出端点值和极值，通过比较即可的出结论．由Ⅰ中求得的函数的单调区间可得函数f（x）在区间（-3，3）上单调性，求出最大值和最小值，从而得到对任意x₁，x₂∈（-3，3），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜32恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax³+bx²-9x（a≠0）的导数f′（x）=3ax²+2bx-9，
当x=-1时f（x）取得极值5，则有f（-1）=5且f′（-1）=0，
即有-a+b+9=5且3a-2b-9=0，解得a=1，b=-3．
则f（x）=x³-3x²-9x，f′（x）=3x²-6x-9，
f′（x）＞0得，x＞3或x＜-1；f′（x）＜0得，-1＜x＜3．
则f（x）在x=3处取极小值且为27-27-27=-27．
（Ⅱ）由于任意x₁，x₂∈（-3，3），|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-3，-1）上递增，（-1，3）上递减，
则x=-1取得最大值，且为5，f（-3）=f（3）=-27，
由于任意x₁，x₂∈（-3，3），则|f（x₁）-f（x₂）|＜5-（-27）=32，
故对任意x₁，x₂∈（-3，3），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜32能恒成立．

点评：本题考查了利用导数求极值和闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．