Question

已知函数f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l₁，g（x-1）与x轴的交点N处的切线为l₂，并且l₁与l₂平行．
（1）求f（2）的值；
（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由题意求两个函数的导数，由l₁与l₂平行可知2a-a=

1

2-1

，从而解出a；
（2）代入化简可得y=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，令u=xlnx，0≤u≤e可化为y=u²+（2t-1）u+t²-t，从而利用二次函数的性质求最小值．

解答： 解：（1）由题意，M（a，0），f'（x）=2x-a；
y=g（x-1）=ln（x-1）的图象与x轴的交点N（2，0），y'=

1

x-1

，
则由题意可得，2a-a=

1

2-1

，
解得，a=1，
则f（x）=x²-x，f（2）=4-2=2．
（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]²-（xlnx+t）
=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，
令u=xlnx，
∵x∈[1，e]，∴0≤u≤e；
y=u²+（2t-1）u+t²-t图象的对称轴u=

1-2t

2

，
且开口向上，
①当u=

1-2t

2

≤0，即t≥

1

2

时，y_min=y|_u=0=t²-t，
②当u=

1-2t

2

≥e，即t≤

1-2e

2

时，y_min=y|_u=e=e²+（2t-1）e+t²-t，
③0＜

1-2t

2

＜e，即

1-2e

2

＜t＜

1

2

时，
y_min=y|_u=

1-2t

2

=（

1-2t

2

）²+（2t-1）

1-2t

2

+t²-t=-

1

4

．

点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了换元法及二次函数在闭区间上最值问题，属于中档题．